不等式ax^2+x+1>0的解集是

若a=0,则x+1>0,x>-1

若a不等于0，则这是二次不等式

若a>0,则开口向上
判别式=1-4a
若1-4a<0
a>1/4,则ax^2+x+1和x轴没有交点，所以恒大于0，
x是全体实数
若1-4a=0,a=1/4
则(x/2+1)^2>0
则x/2+1不等于0
x不等于-2
若1-4a>0,0<a<1/4
则方程ax^2+x+1=0的根是x=[-1±√(1-4a)]/2a,因为a>0
所以[-1+√(1-4a)/2a>[-1-√(1-4a)/2a
所以x>[-1+√(1-4a)/2a,x<[-1-√(1-4a)/2a

若a<0,开口向下
若1-4a<=0
a>=1/4,不符合a<0,不可能
若1-4a>0,a<1/4，则a<0
则方程ax^2+x+1=0的根是x=[-1±√(1-4a)]/2a,因为a<0
所以[-1+√(1-4a)/2a<[-1-√(1-4a)/2a
且a<0,所以解集是x1<x<x2形式
所以[-1+√(1-4a)/2a<x<[-1-√(1-4a)/2a

综上
a>1/4，x是全体实数
a=1/4，x不等于-2
0<a<1/4,x>[-1+√(1-4a)/2a,x<[-1-√(1-4a)/2a
a=0,x>-1
a<0,[-1+√(1-4a)/2a<x<[-1-√(1-4a)/2a

分类讨论a的正负情况，再考虑delta的情况